Seminario
Topología y Psicoanálisis
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Clase 4
Nudos

A cargo de : María Casas

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ALGUNAS NOCIONES MATEMATICAS

Desde principio del siglo XX los matemáticos se interesaron en el estudio de los nudos y de los espacios en que están sumergidos.

Matemáticamente los nudos se definen como "curvas unidimensionales situadas en el espacio tridimensional ordinario, que comienzan y terminan en un punto y que no se cortan a sí mismas" (1).

Algunos de los interrogantes que se plantean en el desarrollo de la teoría de los nudos son: ¿cuándo un nudo está realmente anudado?, ¿si al hacer un 2° nudo se deshará el primero?, ¿cuándo dos nudos son equivalentes?, ¿cómo se pueden distinguir nudos diferentes?.

La teoría de los nudos busca proporcionar modelos y métodos para demostrar que dos curvas son diferentes desprec iando las diferencias superficiales entre ambas.

Ya vimos, al plantear las nociones sobre el toro, que la rama de las matemáticas que estudia los objetos sin tener en cuenta las cualidades de tamaño, de forma es la topología. Pues, ésta se interesa por aquellas propiedades que permanecen inalterables al deformar arbitrariamente los espacios.

Uno de los métodos que utilizan los topólogos en la investigación de tales propiedades consiste en sumergir un objeto en el espacio y ver cómo se comporta la parte desocupada del espacio.

Para comprender cómo surgen los nudos, en investigaciones de este tipo, es esencial tener presente que la propiedad de anudación no es intrínseca de la curva, sino de la inmersión de la curva en el espacio, es decir de la forma en que la curva se encuentra alojada en el espacio tridimensional. Una curva unidimensional sólo puede ser anudada en el espacio tridimensional, ya que el espacio de dos dimensiones no es suficientemente como para anudar la curva, así como el de dimensión cuatro lo es demasiado; esto quiere decir que toda curva razonable inmersa en él puede desanudarse.

Los topólogos consideran que la teoría de los nudos es un modelo sencillo de los problemas llamados de colocación o de alojamiento. Así podemos encontrar que se preguntan por ejemplo, ¿cuáles son las distintas formas en que puede sumergirse una circunferencia en el espacio tridimensional?.

¿Cuándo se considera que dos nudos son iguales o equivalentes?

Para poder definir cuando dos nudos son equivalentes vamos a considerar dos cuerdas anudadas, de las que se toma un modelo de cada una engrosando ligeramente el nudo como si se hallase alojado en un tubo tridimensional sólido y flexible. Se puede decir, entonces, que estos dos nudos son equivalentes cuando el modelo de uno de ellos pueda deformarse, ya sea estirándolo o contrayéndolo o retorciéndolo, hasta alcanzar la forma del otro sin romper el tubo ni hacerlo pasar a través de sí mismo. Entonces, para demostrar si son equivalentes sólo bastará con deformar el modelo equivalente de uno de ellos hasta hacerlo coincidir con el otro modelo.

Las curvas anudadas unidimensionales no pueden ser tratadas de este modo, porque los nudos no triviales pueden siempre escurrirse de ellas.

Ahora, para demostrar si dos nudos son diferentes es necesario descubrir si tienen alguna propiedad que los distinga. Por lo que vimos en la clase anterior, sabemos ya que estas propiedades son las que se llaman invariantes.

Es decir, son aquellas propiedades de los nudos que permanecen inalterables al deformar el modelo tubular correspondiente.

Uno de las invariantes que suele usarse como criterio de organización de tablas de nudos es el número mínimo de puntos de cruce necesarios para dibujar el nudo. Sin embargo, este criterio no es muy satisfactorio para poder diferenciarlos nudos porque se encuentran muchos nudos diferentes que presentan el mismo número de puntos de cruce.

Se ha investigado y se ha visto que no existen invariantes de deducción sencilla que caractericen totalmente a cada nudo, pero si existen varias invariantes que permiten obtener una clasificación completa de los nudos. Una de ellas es el grupo nodal.

El grupo nodal describe las distintas formas en que se puede cruzar el espacio tridimensional sin tropezarse con un nudo inmerso en él.

Grupo nodal

La geometría estudia los problemas que admiten representación espacial, de allí que sea ella quien se ocupe de describir el espacio que rodea a un nudo inmerso y las trayectorias que lo surcan.

A la región del espacio tridimensional no perteneciente al nudo inmerso se la llama complemento del nudo.

Fue Poincaré quien descubrió que ciertas propiedades de esta configuración geométrica podrían también describirse algebraicamente, es decir mediante representaciones simbólicas.

El grupo nodal es uno de los invariantes algebraicos de los nudos como ya dijimos.

Se ha comprobado que la utilización de estructuras algebraicas sobre un espacio geométrico suelen presentar dificultades, pero al contrario, se ha observado, que en el caso particular de los nudos el hecho de operar mediante símbolos facilita la resolución de los problemas, de allí la relevancia del hallazgo de Poincaré.

Fig 1

El grupo nodal es un objeto matemático de difícil manejo porque está formado por un número infinito de clases abstractas de equivalencias de trayectos. De allí que esta invariante puede usarse para distinguir un nudo de otro, sólo cuando se dispone de un procedimiento para describirlo explícitamente.

Lo que hace relevante a esta invariante del grupo nodal es que siempre es posible calcularlo, porque se ha visto que es posible en todos los casos construir una lista de objetos concretos que describan completamente al grupo.

Esa lista está formada por cierto número de elementos del grupo llamados generado-res y por cierto número de ecuaciones a las que se denomina: relaciones.

Si tomamos un nudo trivial o desanudado veremos que es el que tiene el grupo nodal más simple, tendrá un solo generador y sin relaciones, como podemos ver en la figura de la izquierda.

Figura 2

Figura 3

En cambio, si observamos el nudo de la derecha vemos que los tres puntos de cruce lo dividen en tres segmentos, tomados desde cada paso inferior hasta el siguiente.

Pues, desde un punto fijo en el complemento del nudo se han trazado caminos, uno para cada segmento del nudo que rodea al segmento y vuelve al punto fijo. Estos tres caminos son obtenidos de manera que originan tres clases de caminos homotópicos a los que se llaman clases generadoras del grupo.

A su vez, en cada punto de cruce se reúnen los tres segmentos del nudo: uno de ellos por encima, y los otros dos se encuentran bajo el primero. Así, en el cruce de la parte superior izquierda, el segmento asociado al generador [y] se encuentra situado por encima, y los segmentos asociados a [x] y a [z] empalman bajo aquél. Entones, observamos, que en cada punto de cruce los generadores se conduce de manera diferente, lo que hace que determine relaciones diferentes entre ellos.

En l910 el matemático Max Dehn, demostró que dado un nudo cualquiera, los generadores y las relaciones que se establecen creando los trayectos homotópicos permiten una descripción completa del grupo nodal. De esta manera, todo elemento del grupo se puede expresar como producto de los generadores y sus inversos y toda ecuación entre los elementos del grupo puede ser deducida a partir de sus relaciones. Así, a toda lista de generadores y relaciones que se pueda establecer y que satisfaga estos requisitos se la denomina representación del grupo. Con ello, logró determinar la transformación de un problema geométrico, concerniente al manejo de nudos en el espacio, en un problema algebraico relativo al manejo de ciertos símbolos. Y así, el método descripto para construir una presentación del grupo nodal de la hoja de trébol pudo generalizarse a otros nudos.

De esta manera, cualquiera que sea el nudo a estudiar, existía una presentación calculable de su correspondiente grupo y las relaciones de la representación podían tratarse como ecuaciones algebraicas ordinarias con varias incógnitas. La única diferencia consistía en que era necesario respetar el orden de las clases de homotopía que figuraran en las relaciones.

Para la teoría de nudos cuyo objetivo es diferenciar unos nudos de otros, el hecho de sustituir a los nudos por sus grupos nodales, es decir, sustituir geometría por álgebra constituyó una gran ventaja.

En principio, el grupo nodal resultó ser un invariante muy fuerte, capaz de distinguir los nudos de una manera más eficaz que si se considera el mínimo número de puntos de cruce.

Pues, los grupos nodales para los que siempre es posible calcular una presentación, son lo suficientemente fuertes como para permitir la caracterización de un nudo. Ya que, el problema de demostrar si dos objetos algebraicos son equivalentes puede resolverse mediante el cálculo directo.

La fuerza del invariante grupo nodal se debe a que, y en contraste, con el número mínimo de cruces, es fácil de calcular, y por otra parte, consigue retener la complejidad de la estructura del nudo.

El teorema de Dehn no resolvió si un nudo está anudado o no pero lo que, sí logró establecer es que el nudo trivial se distingue por quedar totalmente caracterizado por su grupo.

Nudos tóricos

Otros nudos comparten esta característica y son la clase de nudos que pueden dibujarse sobre una superficie de un toro.

Cuando se traza sobre una superficie tórica uno de estos nudos, da p vueltas alrededor de la circunferencia interior del toro y q vueltas alrededor de la circunferencia exterior recordemos, que p y q tienen que ser números enteros positivos y primos entre sí. Esta característica de los nudos tór icos se debe a que tienen una gran regularidad en sus presentaciones. Así, los nudos tóricos son los únicos nudos cuyos grupos están presentados por solo dos generadores que presentan esa condición existente entre p y q, que no admitan divisor común.

De esta manera, los nudos tóricos pueden ser clasificados completa y eficazmente de acuerdo con su grupo.

Es necesario hacer notar que el grupo no es capaz de distinguir dos nudos tóricos simétricos respecto a un plano, sólo se deducen uno de otro cambiando cada cruce por debajo en un cruce por encima y viceversa.

Los grupos de los nudos tóricos muestran una organización menos complicada que la de todos los grupos nodales de otros nudos, a excepción del nudo trivial. Así los grupos nodales tóricos son los únicos grupos nodales no triviales donde existen elementos distintos de la identidad que conmutan con todos los elementos del grupo. Esto significa que estos grupos de nudos tóricos son lo que están más cerca de mostrar conmutatividad completa

Género del nudo.

Los nudos tóricos muestran la eficacia del invariante algebraico pero existen otros invariantes que esclarecen los nudos y sus teorías. Hay un invariante geométrico que se llama género del nudo y para definirlo se construye una superficie cuyo único borde es el nudo.

Para entender de qué forma se llega a este invariante conviene imaginar una superficie bidimensional de un solo borde inmersa en el espacio tridimensional.

Fig 4

La superficie de este tipo puede tener una sola cara como la Banda de Moebius o dos caras. Las superficies de dos caras se las llama también superficies orientables en cambio la de una sola no es orientable.

Las superficies orientables son equivalentes a discos provistos de cierto número de "asas". Para colocar un asa se hacen dos agujeros y se conecta un tubo desde un orificio a otro. El matemático alemán Seifert ideó un procedimiento para construir una superficie orientable cuyo único borde sea un nudo dado, válido para cualquiera sea el nudo que se presente.

Fig 6

Fig 7

La construcción de Seifert probaba que todo nudo ha de ser borde de al menos una superficie equivalente a un disco provisto de asas. Dado un nudo cualquiera, habrá muchas superficies de este tipo, dotadas de distintos número de asas. Entre todas ellas, la que menos asas tenga se llamará superficie minimal del nudo. Así el género se define como el número de asas de una superficie minimal ya que es imposible disminuir el número de asas deformando el nudo, y por ello, es considerado un verdadero invariante del nudo

Si bien el invariante del género no es tan potente como el del grupo nodal ha demostrado mayor eficacia para determinar si un nudo está anudado.

El nudo trivial o desanudado, o sea la circunferencia, es borde de un disco sin asas y por tanto es de género cero. Y puede demostrarse que es el único con este género. De allí que sea posible demostrar el auténtico carácter de anudación para todo nudo cuyo género sea calculable.

C. Feustel de Virginia y W. Whitten, de Lousiana han demostrado que el género cuya definición es puramente geométrica, es también un invariante algebraico determinado por el grupo nodal.

 

NUDO BORROMEO

Definición

Lacan relata cómo encuentra en el nudo borromeo una relación con sus redondeles de hilo, puesto que se le aparece como "algo provisto de una consistencia particular que era para apoyar y que era reconocible con lo que venía enunciando desde el inicio de su enseñanza" (2).

Se pregunta qué es lo que distingue aquello en lo que consiste cada uno de estas cosas que llamó redondeles de hilo.

El nudo le permitía poner lo Simbólico, lo Imaginario y lo Real en una cierta posición los unos en relación a los otros, algo que le da la posibilidad de plantear una homogeneización.

Al preguntarse que tienen de parecido lo Simbólico, lo Imaginario y lo Real señala la relación que presentan cada uno de ellos con el término consistencia.

RSI, tres términos, tres letras que como tales ubica en una relación de equivalencia, no de igualdad, es decir que cada uno está constituído por algo que se reproduce en los tres y "el modo que encontró de darles una común medida es anudándolos en un nudo borromeo" (3).

Para definirlo parte de tres. El nudo borromeo está hecho por dos toros que son independientes uno del otro y es necesario saber por dónde pasa el tercero para que hagan el nudo. Es necesario que pase por abajo del que está abajo y encima de aquel que está encima, para que haya un calce y surja la propiedad constitutiva del nudo, es decir que al cortar uno de los toros o de los redondeles se liberan los otros dos. En el corte, en esa estructura del corte surge que un toro o redondel determinado revela ser aquel del cual los otros se sostenían, así podrá observarse que la distinción de cuál es el toro o redondel que sostiene es a partir del corte lo que implica, entonces, que la distinción es retroactiva. En este punto observa J. C. Milner que lo real del nudo se instituye por la vía de un imperfecto pues se pone de relieve el "eso se sostenía" en el que se puede reconocer el Es war de Freud (4).

Ahora, al preguntarse, Lacan qué es lo que distingue a cada uno de los otros términos señala que nada más que el sentido. Sentido como aquello que otorga el nombre.

Entonces, en el nudo Real, Simbólico e Imaginario, los tres términos que participan consisten porque se sostienen entre sí. Por ello, para que el nudo consista es necesario partir de que hay tres elementos y es como tres que estos elementos se soportan, eso es lo que determina su sentido. Veremos más adelante, que estos tres elementos estarán en relación a los tres modos de identificación, que formarán lo que llama triskel.

Lacan plantea la necesidad de un cambio en la perspectiva sobre lo que es el efecto de sentido, de allí que diga que al sentido es necesario estrecharlo por un nudo que sea borromeo. Pues, si el nudo se sostiene, es porque lo imaginario fue tomado en su consistencia propia.

Así, lo que los tres términos Real, Simbólico e Imaginario tienen de común, es, no lo Real, sino que lo Real, "es que haya algo que les sea común en la consistencia. Y esa consistencia reside sólo en el hecho de poder hacer nudo" (5).

Así lo Real del nudo no sólo va a estar en la imposibilidad de cortar uno de los toros puesto que al hacerlo se dispersaran los otros dos sino que estará en la imposibilidad de recorrer cualquiera de sus toros sin chocarse en el trayecto con una parte del otro.

Nudo como escritura

El nudo es una escritura que soporta un real. Lacan dice que no hay otra idea sensible de lo Real. Se trata de lo Real, es decir por el juego que por efecto de la nominación le está permitido a uno de los ciclos, límite que es concebible sólo en términos de exsistencia. Y plantea que lo que es necesario demostrar es que no hay goce del Otro.

Parte de la tesis que el sujeto es lo que está determinado por los calces del nudo, es decir por lo que en el nudo queda determinado por esos puntos triples, y es, justamente por el modo en que se ha realizado ese calce que el sujeto va a quedar determinado.

Plantea la necesidad de la puesta en el plano y lo interesante es que por esa puesta en el plano se pone de relieve justamente, que el nudo no es por naturaleza un nudo plano.

La necesidad de la puesta en el plano es para evidenciar la mismidad del nudo. Quiero aclara que cuando Lacan utiliza el evidenciar lo hace tomando el sesgo que le permite el término en su idioma que es el de vaciar y no el de ver.

Así, el nudo está constituido por una geometría que esta interdicta a lo Imaginario. Lo que él sustantifica se puede imaginar a través de cualquier tipo de resistencias.

Alcance del nudo

El alcance del nudo es que no hay relación sexual. Ya hemos especificado que lo Simbólico se distingue por estar especializado, como agujero, pero lo que revela el nudo es que el verdadero agujero se ubica por el efecto del calce de los tres toros, es ahí, donde se plantea que no hay Otro del Otro, así como el lugar del sentido lo ubica como el Otro de lo Real.

Lo Real del que se trata se muestra en el nudo puesto en el plano en un campo distinto de lo Real, que es el campo del sentido.

Lacan señala que lo Real no tenga sentido queda especificado por el hecho de que el sentido lo ubica en un campo totalmente distinto del campo de lo Real.

Fig 8

Propone, en el seminario RSI, que lo que exsiste a lo Real, a lo Real del agujero, sea simbolizado en la escritura por un campo intermedio, como puesta en el plano.

Así, será a lo Real como haciendo agujero que el goce exsiste. El nudo es supuesto por Lacan ser lo Real en el hecho de lo que él determina como exsistencia, es decir en eso por lo cual fuerza un cierto modo de giro-alrededor. Así, dirá que lo Real se sostiene en la exsistencia, en la consistencia y el agujero.

Definirá a la ex sistencia en relación a cierta consistencia y la ubica como "ese afuera que no es un no-adentro, es alrededor de lo cual se evapora una sustancia" (6).

Fig 9

Entonces, como dije antes, había tomado RSI como letras y aclarado que justamente porque ellas son tres es que hay una que es Real. En el momento en que se pregunta cuál de esas letras merece el título de real, allí es donde se responde que el sentido cede ante el número pues postulará que es el número el que determina el sentido. Pero aclarará que es necesario demostrarlo, que el tres hay que demostrarlo no sólo mostrarlo y que, es preciso que sea Imposible pues es esa la condición exigible para lo Real. El exsiste lo plantea como Imposible. Va a decir que no alcanza con que lo Simbólico tome la delantera en relación a lo Imaginario.

Ahora al considerar el estatuto de este número se interroga si un número anudado es aún un número o es otra cosa.

Se responde que en lo simbólico, lo que no se puede imaginar es el agujero. Pues, para que algo exista es necesario que en alguna parte haya agujero. Recurre a lo que ya ha planteado alrededor de ese agujero que aparece como taponado por el yo pienso de Descartes en tanto que, justamente, este yo pienso lo vacía, y es donde queda sugerida la exsistencia.

Este agujero es el que se encuentra en los toros que conforman el nudo, pues sin ese agujero no sería posible pensar que algo pueda anudarse. Así, la exsistencia se va a soportar de lo que en cada uno de estos términos, -Real, Simbólico e Imaginario- hace agujero.

Interroga por medio del nudo lo que es de la estructura necesitada por Freud, y como ya dije en las anteriores clases, es del lado de la muerte que se encuentra la función de lo Simbólico. Es en tanto que algo esta urverdrängt en lo Simbólico, que va a haber algo a lo cual no podrá dársele sentido.

Recuerda lo que Freud aporta en relación a lo que es del Otro diciendo que no hay Otro más que al decirlo, y que ese Otro es absolutamente imposible de decirlo. completamente. Hay allí, urverdrängt, hay un inconsciente irreductible y que como tal, de acuerdo a lo que expresé en las clases anteriores, este decirlo, es aquello que, al mismo tiempo, que lo define como Imposible, instala como tal, la categoría de lo

Imposible. Pues, esa no relación constitutiva de lo sexual se inscribe en el lenguaje.

No hay nada en el inconsciente que con el cuerpo haga acuerdos. El inconsciente es discordante.

La noción de inconsciente la soporta en el hecho de que a ese nudo no sólo lo encuentra hecho sino que se hace por el efecto de un acto por el cual el nudo ya está hecho. Así, va a decir que el inconsciente es lo Real en tanto que está agujereado. No hay relación sexual y eso hace agujero en un punto del ser, del ser parlante.

Por lo tanto considerará que el inconsciente es lo Real en tanto está afectado por el significante; el significante hace agujero.

La interdicción es lo que hace agujero de lo Simbólico. Es necesario lo Simbólico para que aparezca individualizado en el nudo ese algo que llama Nombre de Padre que significa no sólo el Padre como nombre sino el Padre como nombrante.

Aclara que la interdicción del incesto se propaga por el lado de la castración. Pero advierte que hay que dar un paso más sin el cual no se comprende nada en el lazo de esta castración con la interdicción del incesto, el lazo, es lo que llama la no-relación.

Por eso cuando dice el Nombre del padre quiere decir que puede haber como en el nudo borromeo, un número indefinido de redondeles, que en la medida que estén anudados reposan sobre uno, y en tanto que agujero, él comunica su consistencia a todos los otros.

No hay consistencia que no se soporte del nudo.

De tres consistencias como nunca se puede saber cuál de las tres es Real es necesario que sean 4. Con la cuarta va a hacer soportar en lo Simbólico eso para lo cual está hecho el Nombre del Padre.

Pues es la nominación lo que permite asegurarnos de que haya agujero. Trabajará esta cuestión de la nominación en relación al agujero de lo Simbólico en el seminario sobre el Sinthome.

Sostendrá que el abordaje de lo Real está tejido en el número, ya que considera que hay en el número una consistencia de una naturaleza no natural en tanto que aborda lo Real en la medida que hay algo que anuda y que lo lleva a darle consistencia: lo Imaginario y lo Simbólico.

Recordemos que la estructura del nudo se puede definir según la descripción del número de sus trayectos, es decir, por una invariante que se denominaba, grupo fundamental.

Entonces, es el número de trayectos lo que nos acerca a la estructura del nudo. Pero, también vimos que, si bien eso comporta un número, lo que es característico, lo que hace a la estructura del nudo es la relación que se establece entre cierto número de trayectos.

Lacan toma al número como un intermediario, como trujamán dice, para ingresar en la dialéctica del nudo. El ser del agujero se puede decir, como señala el Dr. C. Ruiz, es algebraico (7). Esto interesa porque al ser algebraico pueden establecerse diferentes relaciones y eso posibilita que no haya una única manera de escribir el nudo.

Necesita producir este nudo para dar cuenta de la práctica analítica, para hacer abstracción de la consistencia. Subraya que el goce respecto de la consistencia Imaginaria, el goce adjunto no puede más que exsistir. Es para sostener a lo Simbólico y a lo Real que es necesario reducir a un mínimo a lo Imaginario.

En la experiencias analítica se va a poner de manifiesto la función nodal del goce fálico ya que, es alrededor de él lo que funda ese Real del cual nos ocupamos en un análisis.

Observa que si hay algo que el nudo pone de relieve es que sitúa respecto al goce fálico como Real como soportado en el calce que se produce por efecto, justamente, de la nodalidad.

El efecto de sentido del Discurso Analítico no es Imaginario ni Simbólico es necesario, especifica Lacan que sea Real.

 

BIBLIOGRAFÍA

• Poincaré, H. Lecciones de Topología, últimos pensamientos Espasa Calpe, Argentina.1951
• Lacan, J. Seminario RSI ,clase 18-3. Escuela Freudiana de Buenos Aires, versión
• Lacan , J. ibid , clase 10.12 74
• Milner, J. C. Hersesies Ornicar ? N° 25 l982
• Lacan, J. Seminario RSI, clase 18.2. 75 Escuela Freudiana de Buenos Aires, versión inédita
• Lacan, J. Ibid, clase 8.4. 75 escuela Freudiana de Buenos Aires
• Ruiz, C. clases sobre seminario RSI.